0 引言

基于结构光的三维测量技术具有非接触、准确度高、速度快、系统简单等特点，是机器视觉中获取物体表面三维信息的重要方法之一，被广泛应用于运动物体定位、机器人焊接、逆向工程等领域^[1-3]。该技术通过采集被物体表面所调制的投影光条图案来获得物体表面信息，因此投影光条图案的标准性就成为该技术应用的前提。但是在实际中，光条图案会因为受到投影仪和摄像机的非线性响应、环境杂散光、系统随机噪声的影响，使所拍摄到的图案偏离标准分布^[4]，导致在求解物体轮廓信息过程中引入这种误差，降低了系统的测量准确度。

针对这一问题，目前常见的方法有基于纠错码的校正^[5]，基于虚拟模板的逐点畸变校正^[6]，相关像素法^[7]，二次多项式最小二乘曲线拟合法^[8]以及相位误差过补偿与欠补偿法、离焦法、三步相移法、灰度编码法等^[9-12]。这些方法减少了计算量，减轻了对摄像机、投影仪具体参数的依赖，解决环境光变化对相位误差补偿的影响等问题，但存在初始图像点所含噪声误差在计算新图像点坐标值时会被放大、需要采集大量数据以及离焦量的控制存在可变性等问题。

本文结合实际光栅投影系统，对于如何提高光栅投影本身的正弦性展开研究，基于最小二乘法和线性插值的方法，建立了实际光栅相位与理想光栅相位的映射关系，并以此关系对误差进行校正，该方法不需要标定，计算量少，校正速度快。实验结果表明该方法是有效的，并可以推广到类似的系统中。

1 基本原理

结构光投影三维测量系统，由投影仪、摄像机、计算机、被测物体等组成，如图 1所示。测量时，投影仪将一组标准正弦光栅条纹投射到参考面上，在投影参考面上得到满足标准正弦分布的光栅条纹：

由于在标准正弦条纹中，条纹相位在横坐标变化，则：

式中：I^s（x，y）——光栅条纹的灰度分布；

A——投影光栅的平均灰度；

B——投影光栅的灰度调制强度；

θ^s（x）——I^s（x，y）对应的光栅横坐标相位，rad；

N——1个周期所包含的投影像素个数；

——初始相位，rad。

在理想情况下，摄像机采集到的光栅灰度I^p也满足标准正弦分布；但是在实际中，光栅投影灰度曲线会因为受到系统随机噪声、光栅图像的离散化以及投影仪和摄像机的非线性响应的影响，使拍摄得到光栅图像的灰度偏离正弦分布^[3]，导致摄相机无法采集到正弦分布的光栅条纹。通常若被调制的光栅条纹没有发生饱和时，经摄像机拍摄到的光栅投影灰度曲线会出现如图 2所示波谷平台现象。那么此时光栅条纹图像可以表示为

式中：I^p（x，y）——摄像机采集到的畸变正弦光栅条纹灰度；

I^A——摄像机采集到的畸变正弦光栅条纹的灰度均值；

I^B——摄像机采集到的畸变正弦光栅条纹调制强度；

θ^p（x，y）——畸变正弦相位，rad。

若被调制的光栅条纹出现饱和现象，则条纹图像中所包含的相位信息已被损坏且无法恢复，故这种情况本文不再研究。

2 基于相位映射关系的结构光相位校正 2.1 相位映射关系

对I^s进行移相，可得到一组N幅光栅条纹图像I_i^s（x，y），通过摄像机的采集可以得到N幅光栅条纹图像I_i^p（x，y）。则这N幅光栅条纹图像上任意一点（x₀，y₀）可以表示为

其中

式中:——点（x₀，y₀）处摄像机采集到的畸变正弦光栅条纹的灰度均值、调制强度和初始理想相位值；

——第i幅条纹图像上（x₀，y₀）点的畸变正弦光栅条纹灰度、畸变相位和相位畸变量；

——每次的相移距离。

由于δ_i（x₀，y₀）相对于是一个小量，所以δ_i（x₀，y₀）可以忽略。

利用最小二乘法解得I^A（x₀，y₀）、I^B（x₀，y₀）和，并将其分别代入式（4）和式（5）中，可得在点（x₀，y₀）处，N幅光栅条纹图像的畸变相位θ_i^p（x₀，y₀），即：

式（6）中反余弦函数的定义域为[-1,1]，因此为了得到实际有意义的结果，就需要使C（x₀，y₀）=也限制在[-1,1]中，即：

同样在点（x₀，y₀）处，N幅光栅条纹图像的理想相位θ_i^s（x₀，y₀）为

由式（7）与式（8）便可建立起θ^s-θ^p映射的关系。

2.2 基于线性插值的相位校正

由数字投影仪投射出的光栅条纹图像的灰度I^s（x，y）和相位θ^s（x，y）是离散量。由摄像机所采集到的光栅条纹图像的灰度I^p（x，y）和相位θ^p（x，y）从光学成像角度来看是连续量。这样对于x≠1，2，…，N处的I^s（x，y）和θ^s（x，y）可以用线性插值的方法求出。因为条纹中的变化仅与横坐标有关，所以下文只研究x方向上的变化。

由2.1节θ^s-θ^p映射关系的建立，则可以用线性插值通过求出，本文的是对θ^s（x）在x≠1，2，…，N处的一种采样。然后将代入式（1）中得：

这样，若将设置成新的光栅模式，投射到参考面，则摄像机会采集到新的光栅条纹图像。

光栅校正的目的就是选取合适的（=1，2，…，N），使得经过投影拍摄得到的的分布逼近理想的正弦分布，也就是说要使的分布达到理想正弦相位，即：

在此过程中，因为反余弦中的值域为[0，π]，那么由式（6）通过最小二乘法解得的θ^p（x）值通常是非单调的，且不在[θ^s（x₀），θ^s（N）]的范围内，无法满足线性插值的单调性、有效性和唯一性，因此需要对θ^p（x）进行预处理。

线性插值的单调性和有效性可以通过线性变换获得。首先对式（6）解得的θ^p（x）值进行线性变换，使其值分布于[θ^s（x₀），θ^s（N）]的范围内。

当时，令：

当时，令：

其中：

其次，当出现数值相同的相位值时，即：

式中n为出现相位值相同的第一个值，k为相位值相同点的个数，则线性插值的唯一性可以设置一个调整函数ε（k）来获得，令：

其中

由于ε（k）相对于θ^p′（n）是一个小量，所以ε（k）对于θ^p′（n）的影响可以忽略。

在实际测量中，可能会出现过校正的情况，此时可以通过设定一个控制因子β来弥补过校正：

式中β是一个大于1的数，具体值当视测量时的实际情况来确定。

最后将校正后的相位代入式（1）中，得到新的光栅模式。把该新的光栅模式重新投射到参考面上并由摄像机再次采集，得到校正后光栅的灰度分布。

3 实验结果

为了验证本文误差补偿算法的有效性，搭建了由投影仪（爱普生EB-C760X）、摄像机（MANTA G124C IRC）、投影平板和计算机组成的结构光测量系统。测量过程中拍摄一组相移光栅图像，N=40，其光栅投影灰度与相位分布如图 3所示，可以看出原始光栅的灰度偏离正弦分布比较大，光栅相位的标准差是0.168 2 rad。

依据本文所提方法，以图 4（a）所示的映射关系对相位进行校正，从而得到校正光栅相位，将这个校正光栅相位代入式（1）获得新的光栅模式，如图 4（b）所示。之后将这个新的光栅模式再次投射到参考面上，并拍摄一组相移光栅图像，其光栅投影灰度曲线如图 5（a）所示，可以看出新的光栅的灰度相比未校正前已经非常接近正弦分布。

对新的光栅条纹图像进行分析，如图 5（b）所示，可以看出校正后的光栅相位与标准正弦光栅相位相比，误差已经减小很多。光栅相位的标准差是0.059 2 rad，约达到校正之前的1/3。

实验结果表明，本文所提出的相位误差补偿算法可以显著提高结构光测量系统的测量准确度。

4 结束语

本文分析了相位误差产生的原因，通过基于最小二乘法解出实际光栅相位，并通过线性插值建立实际光栅相位θ^p与理想光栅相位θ^s逆映射关系，计算出校正所需新光栅模式的相位。实验结果表明，通过本文所述方法求出的新光栅模式具有良好的校正效果。本文的方法准确度较高，解决了线性插值使用局限性的问题，具有较好的实际应用价值。