0 引言

模拟电路的测试和故障诊断能力对于提高产品可靠性和降低生产成本具有重要意义。由于元件参数存在容差、离散与非线性等特性，模拟电路故障诊断方法和技术发展非常缓慢，至今也没有成熟的行业标准，距实用还有相当大的距离。模拟电路的故障检测和准确定位一直都是故障诊断研究中的热点和难点。模拟电路故障诊断是电路设计和分析的重要问题^[1-2]，主要包括故障状态检测、故障元件隔离和故障参数辨识。通常根据仿真进行的时间，将模拟电路故障诊断方法划分为测前仿真算法和测后仿真算法^[3-4]。针对不同类型电路，国内外学者开展了大量相关故障诊断方法研究^[5-14]。例如，神经网络^[5]、线性规划^[6]、模糊方法^[7]、小波变换^[8]、频率响应函数^[9]、支持向量机^[10]、因子变换^[11]、进化算法^[12]、Volterra级数^[13]、块松弛方法^[14]等。现有文献主要考虑模拟电路的单故障诊断，很少有文献对多故障进行讨论^{[6-7, 15-16]}。容差条件下的非线性电路参数故障诊断仍然是模拟电路故障诊断的难点^[17-19]。

参数故障诊断通常采用测后仿真算法。通过给电路施加激励信号，在测点处测量输出电压，得到电路的参数方程。对于复杂线性电路或非线性电路，电路代数方程很难求取或不存在^[15]。此外，由于元件容差影响，存在故障掩盖现象。本文针对容差条件下的模拟电路多软故障诊断问题开展研究。

1 算法描述 1.1 算法原理

对于拓扑结构已知的电路，施加激励信号V_i，测量得到电路输出V_o。输出电压V_o完全由电路元件参数决定，用如下函数关系描述：

其中，x=[x₁，…，x_n]^T表示电路中可能发生故障的元件参数；u=[u₁，…，u_m]^T表示在m个激励信号作用下的电路输出；f(x)=[f₁(x)，…，f_m(x)]^T描述电路输出u与元件参数x的函数关系，由于电路拓扑结构的复杂性，函数f(x)往往无法得到数值表达式。

将函数f(x)在标称参数x⁽⁰⁾处进行泰勒展开，忽略高次项，得到：

其中f(x⁽⁰⁾)和分别表示标称参数电路在m个激励信号作用下的电路输出和输出电压灵敏度。

将式(2)带入式(1)，得到：

通过求解方程(3)，即可得到电路实际参数x，与标称参数x⁽⁰⁾比对，即可定位故障。但往往是秩亏，方程(3)无法得到唯一解，同时求得的方程解也只是方程(1)的近似。因此，本文提出采用基于奇异值分解(SVD)的迭代方法求解方程(3)。

1.2 求解过程

方程(3)简化为

其中，是m×n矩阵，表示电压灵敏度；y=x-x⁽⁰⁾是n维列向量，表示元件参数增量；b=u-f(x⁽⁰⁾)是m维列向量，表示输出电压增量。

为求解方程(4)，首先需要确定矩阵A的秩。采用奇异值分解方法对A进行分解，得到：

其中，U是m×m的正交矩阵，V是n×n的正交矩阵，∑是m×n的矩阵，形如：

其中σ₁≥σ₂≥…≥σ_r＞0表示A的特征值，r表示A的秩(r≤n)。由于m＞n≥r，∑V^T是m×n的矩阵，因此其r+1，r+2，…，m行元素由0元素组成，即：

其中L为r×n的子矩阵。

考虑式(5)和式(7)，得到A=KL，其中K是由U中前r列元素构成m×r的矩阵。

选择整数p≤r(单故障诊断时p取2，双故障诊断时p取3，依次类推)，采用奇异特征值分解方法从r×n的矩阵L中选择秩为p的子矩阵L_i，i=1，2，…，N。得到矩阵A中m×p的子矩阵A_i=KL_i，容易证明rank(Aⁱ)=p。因此得到方程：

其中，y⁽ⁱ⁾)由y中p个元素组成，与A_i中列元素在A中位置一致，表示对应列的元件可能发生故障，其他元件无故障，取标称参数值。

采用如下标准形式方程解方程(8)：

用y^₁(i)表示方程(9)的解，将y^₁(i)增加到x⁽⁰⁾中相应元素上，得到包含p个新元素的向量x₁⁽ⁱ⁾。对于所有N个矩阵L_i，重复上述过程，得到两个向量集{y^₁(i)}和{x₁⁽ⁱ⁾}，i=1，2，…，N。考虑到式(3)是式(1)的近似，计算得到的结果需改善。因此，提出如下类似于牛顿-拉夫逊方法的迭代过程。

更新元件标称参数x₁⁽ⁱ⁾，通过仿真得到电路输出f(x₁⁽ⁱ⁾)和电压灵敏度，得到新的m×p的矩阵A₁⁽ⁱ⁾和向量b₁⁽ⁱ⁾。如果rank(A₁⁽ⁱ⁾)=p，将A₁⁽ⁱ⁾和b₁⁽ⁱ⁾带入式(8)，采用式(9)求解，得到两个向量集{y₂⁽ⁱ⁾}和x₂⁽ⁱ⁾，i=1，2，…，N。重复上述过程，得到序列y^₁(i)，y₂⁽ⁱ⁾，…。假定序列中第M_i个元素满足收敛条件，得到。因此得到集合。

由于部分子矩阵A_i^(k)秩亏，或者某些序列在设定最大迭代次数下不收敛，实际得到集合中元素数量。

1.3 故障组隔离

考虑电路中所有元件参数在容差范围内扰动，由式(2)得到：

式中：y_i——第i个激励信号下测量值与标称参数下测量值的偏差；

x_j——第j个元件的参数偏差；

a_ij——第i个激励信号下电压e_i对第j个元件参数的电压灵敏度；

m——激励信号数量。

容差模拟电路正常状态下的元件参数偏差满足-ε_j^-≤x_j⁺≤ε+j(j=1，...，n)，其中ε_j⁺和-ε_j^-分别表示参数容差的上下限值。判断式(10)解中所有参数偏差是否在容差范围内即可定位到故障元件。考虑将电路状态故障检测转化为容差约束下的线性规划问题求解。

引入变量，带入式(10)，得到：

为判断式(11)解的存在性，采用单纯形法的第一阶段方法进行求解。引入人工变量z_i，得到辅助线性规划方程：

当式(12)存在最小目标值Z≈0，表示电路未发生故障；当式(12)无解或最小目标值Z>0，表示电路元件发生了故障，对疑似故障元件k和l的参数偏差限值(-ε_k^-，ε_k⁺)和(-ε_l^-，ε_l⁺)进行修正，得到修正后的偏差限值为(-γ_k^-，γ_k⁺)和(-γ_l^-，γ_l⁺)，带入式(12)得到：

若修正后的式(13)存在最小目标值Z≈0，则表示元件k和l确实发生故障。电路中存在更多故障的诊断过程与此类似。

1.4 算法步骤

1) 设置x=x⁽⁰⁾，采用PSPICE仿真得到输出电压f(x⁽⁰⁾)和电压灵敏度，结合实际输出，得到b=u-f(x⁽⁰⁾)。对A进行SVD分解，得到rank(A)=r，选择子矩阵A⁽ⁱ⁾(rank(A⁽ⁱ⁾)=p，i=1，…，N)，解方程A⁽ⁱ⁾y⁽ⁱ⁾=b得到解y₁⁽ⁱ⁾和集合x₁⁽ⁱ⁾。

2) 设置k=1。

3) 对于x_k⁽ⁱ⁾采用PSPICE仿真得到f(x_k⁽ⁱ⁾)和A_k⁽ⁱ⁾ =。如果rank(A_k⁽ⁱ⁾)=p，解方程A_k⁽ⁱ⁾ y_k+1⁽ⁱ⁾=b^k(i)，得到解y_k+1⁽ⁱ⁾和集合x_k+1⁽ⁱ⁾；否则，舍弃x_k⁽ⁱ⁾。

4) 如果‖y_k+1⁽ⁱ⁾‖≤ε，计算；否则，设置k=k+1。如果k＜L_max，继续进行3)；否则，舍弃x_k⁽ⁱ⁾。

5) 计算得到集合，采用上述故障隔离方法对集合中元素进行故障元件隔离定位。

2 容差处理

上述方法是在非故障元件参数取参数值的假设下实现了故障元件的定位和参数辨识。实际上，非故障元件参数值在容差范围内任意取值，因此，应当对求解结果进行修正。

考虑向量x^*由故障元件的计算参数和其他非故障元件的标称参数组成。不失一般性，假设向量x^*中前p-1个元素对应电路中诊断为故障的元件。因此，x^*能够分解为两个子向量：，对应故障元件，对应非故障元件。

假设非故障元件在标称参数容差范围内取任意值，用z_j表示：

其中。

导致故障元件参数变化，用r_j表示：

其中Δr_j^-≤Δr_j≤Δr_j⁺，Δr_j^-和Δr_j⁺表示Δr_j的下边界和上边界。

考虑采用线性规划方法计算Δr_j^-和Δr_j⁺。假设Δr_j满足如下关系：

引入新变量和：

带入式(17)，得到：

由式(2)，得到：

其中；和为从f和u中选择的向量，。

1)

2) 从n个方程中选择个，满足如下条件：rank且最小。

式(20)化简，得到如下形式：

其中。

将带入，得到：

其中。

将的等式两端同时乘-1，得到方程：

其中。

引入松弛变量，满足：

对于所有的j∈(1，…，p-1)，得到线性规划方程：

采用单纯形法求解，得到，取目标为，得到。由式(18)，得到：

因此，计算得到容差条件下的电路故障元件的参数范围为，其中，，。

3 案例分析 3.1 案例一

考虑如图 1所示电路^[15]，元件标称值如图所示，容差为5%。假设电路中所有电阻、电容都可能发生故障，给电路施加幅值为1 V，频率为40，60，80，100，120，140，160，180，200，220 Hz的正弦信号，测量电路输出。PSPICE仿真得到20×10的灵敏度矩阵A，采用SVD方法计算r=rank(A)=7。设置p=4，本文提出方法能够对电路中发生的单故障、双故障和三故障进行诊断。假设测量精度为0.1 mV。设置ε_j=0.05z_j^*，δ_j=0.20r_j^*。

1) 故障元件R₁=12.501 kΩ，R₄=6.670 kΩ(-35%，-35%)，其他元件在容差范围内：R₂=20.104 kΩ，R₃=16.838 kΩ，R₅=21.173 kΩ，R₆=16.925 kΩ，C₁=33.5 nF，C₂=339 nF，C₃=2.3 nF，C₄=1.05 μF。采用第一阶段方法得到故障集为{R₁，R₄}，通过校正得到故障元件参数R₁的范围为12.487~12.532 kΩ，R₄的范围为6.606~6.715 kΩ。

2) 故障元件R₆=10.102 kΩ，C₃=2.86 nF(-40%，30%)，其他元件在容差范围内：R₁=20.017 kΩ，R₂=20.104 kΩ，R₃=16.838 kΩ，R₄=10.731 kΩ，R₅=21.173 kΩ，C₁=33.5 nF，C₂=339 nF，C₄=1.05 μF。采用第一阶段方法得到故障集为{R₄，C₃}、{R₆，C₃}和{R₆，C₄}，采用故障验证方法舍弃解{R₄，C₃}和{R₆，C₄}，最后通过校正得到故障元件参数R₆的范围为9.853~10.496 kΩ，C₃的范围为2.643~3.107 nF。

3) 故障元件R₁=12.501 kΩ，C₂=511.5 nF，C₄=1.35 μF(-35%，55%，35%)，其他元件在容差范围内：R₂=20.104 kΩ，R₃=16.838 kΩ，R₄=10.731 kΩ，R₅=21.173 kΩ，R₆=16.925 kΩ，C₁=33.5 nF，C₃=2.3 nF。采用第一阶段方法得到故障集为{R₁，C₂，C₄}，通过校正得到故障元件参数R₁的范围为12.309~12.714 kΩ，C₂的范围为503.127~518.781 nF，C₄的范围为1.246~1.498 μF。

统计实验：在电路中设置240个故障集合(20%~60%)，考虑40个单故障、80个双故障和120个三故障。采用本文所提方法进行故障诊断，发现所有单故障都被准确检测到，只有1%双故障和12%的三故障，算法没有找到可行解。

3.2 案例二

考虑如图 2所示电路^[14]，元件标称值如图中所示，容差为5%，电路中所有电阻都可能发生故障。假定节点A、B、C为可用测点。该晶体管采用Ebers-Moll模型，参数设置如下：BF=400，NF=0.9975，NR=0.8，ISE=10.22 fA，ISC=12.75 fA，VJE=25.86 mV，VJC=25.86 mV，VJS=25.86 mV。电压激励为Vin(1)=12 V，Vin(2)=5 V，测量准确度为0.01 mV。假定电路中有双故障和三故障发生，设置ε_j=0.05z_j^*，δ_j=0.20r_j^*。

1) 故障元件R₁=4.94 kΩ，R₄=0.2535 kΩ(-35%，-35%)，其他元件在容差范围内：R₂=4.87 kΩ，R₃=0.385 kΩ，R₅=9.89 kΩ，R₆=102 kΩ。采用第一阶段方法得到故障集为{R₁，R₄}和{R₂，R₃}，采用故障验证方法舍弃解{R₂，R₃}，最后通过校正得到故障元件参数R₁的范围为4.940~4.941 kΩ，R₄的范围为0.253 5~0.253 6 kΩ。

2) 故障元件R₂=3.5 kΩ，R₅=14 kΩ(-30%，40%)，其他元件在容差范围内：R₁=7.7 kΩ，R₃=0.385 kΩ，R₄=0.40 kΩ，R₆=102 kΩ。采用第一阶段方法得到故障集为{R₂，R₄}、{R₂，R₅}和{R₃，R₅}，采用故障验证方法舍弃解{R₂，R₄}和{R₃，R₅}，最后通过校正得到故障元件参数R₂的范围为3.243~3.609 kΩ，R₅的范围为12.650~16.438 kΩ。

3) 故障元件R₁=4.56 kΩ，R₃=0.702 kΩ，R₆=140 kΩ(-40%，80%，40%)，其他元件在容差范围内：R₂=4.87 kΩ，R₄=0.40 kΩ，R₅=9.89 kΩ。采用第一阶段方法得到故障集为{R₁，R₃，R₆}，通过校正得到故障元件参数R₁的范围为4.498~4.571 kΩ，R₃的范围为0.698~0.705 kΩ，R₆的范围为120.32~153.91 kΩ。

统计实验：在电路中设置80个故障集合(20%~60%)，其中包括50个双故障，30个三故障。实验结果表明只有2%双故障和13.3%的三故障，算法没有找到可行解。

4 结束语

本文提出了一种三阶段的故障诊断算法，实现了容差条件下的非线性模拟电路多软故障故障元件定位和参数估计。假设非故障元件参数取标称值，采用SVD方法求解秩亏的矩阵方程，采用类似牛顿迭代法对方程解进行修正，得到故障元件参数的近似值。将容差电路的故障状态检测转化为线性规划方程最优解的存在性判断，通过修正规划方程中疑似故障参数的偏差限，实现故障集隔离定位。最后对故障参数的近似值进行修正，得到容差条件下的故障元件参数取值范围。通过交流电路和非线性电路仿真实验验证了算法的有效性。该算法适用于测点有限条件下的交/直流和非线性电路的故障诊断，具有较高的诊断准确度和参数辨识准确度。